Прямоугольная волна (меандр), принимающая значения ±1 и меняющая знак в точках, кратных π, может быть представлена как предел частичных сумм ряда Фурье:
f_N(t) = (4/π) * Σ [sin((2k+1)t) / (2k+1)], где k ﹤ N.
Разложение содержит только нечётные гармоники в силу симметрии функции: f(t + π) = −f(t). Геометрически это цепочка векторов: k-й вектор имеет длину (4/π)/(2k+1) и вращается в (2k+1) раз быстрее первого. Свободный конец этой цепи в проекции на ось ординат даёт значение f_N(t).
Явление Гиббса (перерегулирование):
Сумма даёт характерный выброс в точках разрыва. Первый локальный максимум в точке t = π/(2N) составляет ~1.182 при N=5 и ~1.179 при N=100 (что равно ≈9% от величины скачка).
При N → ∞ область выброса сужается к точке разрыва, но его амплитуда не исчезает. Это классический пример поточечной, но не равномерной сходимости ряда Фурье в окрестности разрыва первого рода.
#АкадемияНауки #Математика
Это наглядный пример того, как строгие математические функции способны рождать органическую, живую красоту. Именно такие алгоритмы лежат в основе процедурной генерации, позволяя компьютеру создавать целые леса и сады без ручной прорисовки каждого листика.
Математическая роза — это поверхность, закрученная вокруг оси почти тринадцать раз, где угол θ изменяется от −5π/3 до 24π, а параметр x ∈ [0, 1] отвечает за протяжённость вдоль каждого лепестка.
Угол раскрытия φ = (π/2)e^(−θ/8π) уменьшается со 111° на свисающих внешних лепестках до 4,5° у самого бутона. Параметр X = 1 − ½(5/4(1 − (3.6θ mod 2π)/π)² − ¼)² расширяется от ½ в каждой выемке (между лепестками) до 1 по всей ширине лепестка, что даёт 3,6 лепестка на один полный оборот.
Измените значение 3,6, и изменится количество лепестков; измените 8π, и цветок будет раскрываться с другой скоростью
#АкадемияНауки #Математика #3DГрафика
Вы когда-нибудь задумывались, как видеоигры, спецэффекты в кино или дроны понимают, как именно повернуть объект в пространстве?
За этой магией стоят матрицы поворота — элегантный и мощный математический инструмент.
В трёхмерном мире есть три главные оси: X, Y и Z. Чтобы повернуть объект, математика использует одну из трёх базовых операций:
🔹 Поворот вокруг оси X: сама ось X остаётся на месте, а вращается плоскость YZ.
🔹 Поворот вокруг оси Y: ось Y зафиксирована, а вращается плоскость XZ.
🔹 Поворот вокруг оси Z: ось Z неподвижна, вращается привычная нам горизонтальная плоскость XY.
Внутри каждой такой математической «таблицы» скрываются только синусы и косинусы угла поворота. Компьютер просто умножает координаты каждой точки объекта на эту матрицу и мгновенно получает её новое положение в пространстве.
#АкадемияНауки #Математика
Мы привыкли видеть графики функций как скучные линии из школьного учебника. Но если посмотреть на них под правильным углом, каждая из них рассказывает свою уникальную историю о гармонии мира.
На видео — 10 элементарных функций. Данные функции — фундамент, на котором строится всё: от описания роста популяций и распространения сигналов в нейросетях (логистическая кривая) до квантовой механики и обработки звуковых волн (затухающие колебания).
#АкадемияНауки #Математика