Вычитание рациональных чисел

Как всегда интересный урок, на котором даются необычные объяснения обычных операций Конспект урока: Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b=a следует, что a−b=с иa−c=b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b=a. Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число. Другими словами, вычесть из какого-либо числа a число b — значит найти такое третье число c, чтобы было справедливо равенство: Чтобы вывести общее правило вычитания для любых рациональных чисел, поступим следующим образом. Заменим в предыдущих примерах вычитание прибавлением числа, противоположного вычитаемому. Получим: 5 + (-7) = -2; (-3) + (-8) = -11; (-1) + (+5) = +4. Как видим, мы получили те же результаты, что и при вычитании. Следовательно, можно ввести правило: Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a – b = a + (-b). Докажем это правило. Нам надо доказать справедливость равенства a – b = a + (-b) (1) при любых a и b. Если выражение a + (-b) в правой части является разностью чисел a и b, то, сложив его с вычитаемым b, мы должны получить уменьшаемое a. Проверим это; сложив a + (-b) и b, получим: [a + (-b)] + (+b). Получили уменьшаемое. Значит равенство (1) верно. Приведенное правило заменяет вычитание сложением, а правило сложения нам уже известно. Итак, оказалось, что вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением двух рациональных чисел. Но сложение двух рациональных чисел всегда возможно и дает единственный результат (§ 12). Значит, мы можем заключить, что в множестве рациональных чисел вычитание всегда возможно и дает единственный результат (как говорят, однозначно). В арифметике, где действия выполнялись лишь над положительными числами, вычитание было не всегда возможно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве рациональных чисел стало всегда возможным. Известные из арифметики свойства вычитания остаются в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти свойства. 1. Прибавление разности. Чтобы прибавить разность, можно прибавить уменьшаемое и от результата отнять вычитаемое. a + (b – c) = (a + b) – c. 2. Вычитание суммы. Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вычесть первое слагаемое, из результата вычесть второе и так далее до конца. 3. Вычитание разности. Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое.