Пятый постулат Евклида и его эквивалентные формулировки: если сумма углов при пересечении двух прямых третьей меньше 180°, то прямые пересекаются, а также утверждение о существовании единственной параллельной прямой через точку вне данной. В течение 2000 лет математики пытались доказать его из первых четырёх постулатов, но безуспешно. Отказ от постулата привёл к созданию неевклидовой геометрии Лобачевского, где, например, не существует прямоугольников, треугольники не могут быть подобны без равенства, а сумма углов треугольника меньше 180°. Также обсуждается сферическая геометрия, где некоторые евклидовы аксиомы не выполняются. Геометрия Лобачевского теперь лежит в основе современной физики, включая преобразования Лоренца.
