Как вычислить многочлен Тейлора для f(x)=cos(x) в точке pi/4

В этом видео показано, как вычислить полином Тейлора в точке π/4 для cos(x) до 5-й степени. Взять производную от cos(x) 5 раз и вычислить каждое значение в точке π/4. Затем значения подставляются в стандартную формулу полинома Тейлора. Выполняя простые шаги и не делая слишком много шагов за раз, результат можно легко получить. https://www.youtube.com/watch?v=puKbLHg6VhY #серияТейлора #ТейлорСеррано #многочлены #многочлены #серияМаклаурина #Маклаурин #производные #тригинометрия #вычисления1 #вычисления График, использованный в этом видео, находится по ссылке ниже: https://www.transum.org/Maths/Activity/Graph/Desmos.asp Получите LaTeX по ссылкам ниже: https://www.latex-project.org/get/ https://softati.com/miktex-latex-free... https://www.stat.pitt.edu/stoffer/fre... LaTeX, использованный для создания этого видео: ниже \documentclass{article} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{xfrac} \usepackage{gensymb} \usepackage{polynom} \usepackage{scalerel} \usepackage{stackengine} \usepackage{xcolor} \usepackage{bigints} \usepackage{physics} \usepackage{lastpage} \usepackage{mathtools} \usepackage{wasysym} \newcommand{\mathsym}[1]{{}} \newcommand{\unicode}[1]{{}} \newcounter{mathematicspage} \addtolength{\oddsidemargin}{-.875in} \addtolength{\evensidemargin}{-.875in} \addtolength{\textwidth}{1.75in} \addtolength{\topmargin}{-.875in} \addtolength{\textheight}{1.75in} \begin{document} \large Вычислите многочлен Тейлора 5-й степени в точке $\frac{\pi}{4}$ для функции $f(x)=\cos(x)$.\\ \\ \\ \\ Формула ряда Тейлора - степень равна $n$ и в точке $a$ для любой функции.\\ \\ \\ общая формула \[ T_n(x)=f(a)+\cfrac{f^{'}(a)}{1!}(x-a)^1+\cfrac{f^2(a)}{2!}(x-a)^2+\cfrac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3+\cfrac{f^4(a)}{4!}(x-a)^4+......\cfrac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n \] \\ \\ \\ Дифференцируем функцию $\cos(x)$ 5 раз и находим значения каждой производной в точке $\frac{\pi}{4}$ .\\ \\ \begin{align*} & f(x)=\cos(x) & f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ & f^{'}(x)=-\sin(x) & f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ & f^2(x)=-\cos(x) & f^2(\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ & f^3(x)=\sin(x) & f^3(\frac{\pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & f^4(x)=\cos(x) & f^4(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & f^5(x)=-\sin(x) & f^5(\frac{\pi}{4})= \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \end{align*} \\ подставляя $\frac{\pi}{4}$ вместо $a$ \[ T_5(x)=f(\frac{\pi}{4})+\cfrac{f^{'}(\frac{\pi}{4})}{1!}(x-\frac{\pi}{4})+\cfrac{f^2(\frac{\pi}{4})}{2!}(x-\frac{\pi}{4})^2+\cfrac{f^3(\frac{\pi}{4})}{3!}(x-\frac{\pi}{4})^3+\cfrac{f^4(\frac{\pi}{4})}{4!}(x-\frac{\pi}{4})^4+\cfrac{f^5(\frac{\pi}{4})}{5!}(x-\frac{\pi}{4})^5 \] \\ подставляем производные и вычисляем факториалы(!)\\ \\ \[ T_5(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{-1}{\sqrt{2}\times1}(x-\frac{\pi}{4})+\cfrac{-1}{\sqrt{2}\times2}(x-\frac{\pi}{4})^2+\cfrac{1}{\sqrt{2}\times6}(x-\frac{\pi}{4})^3+\cfrac{1}{\sqrt{2}\times24}(x-\frac{\pi}{4})^4+\cfrac{-1}{\sqrt{2}\times120}(x-\frac{\pi}{4})^5 \] \\ \\ упрощает к \[ T_5(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\cfrac{(x-\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}}-\cfrac{(x-\frac{\pi}{4})^2}{2\sqrt{2}}+\cfrac{(x-\frac{\pi}{4})^3}{6\sqrt{2}}+\cfrac{(x-\frac{\pi}{4})^4}{24\sqrt{2}}-\cfrac{(x-\frac{\pi}{4})^5}{120\sqrt{2}} \] \clearpage \end{document} #sumchief #somesums