Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.

Условие. Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Найдите радиус вписанной окружности. Решение. 1 способ. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы из вершин В и С, причем биссектриса из вершины В будет еще и высотой. Точка их пересечения О - центр вписанной окружности с радиусами ОК и ОМ. В прямоугольных треугольниках ОВМ и КВС общий острый угол. Значит, они подобны. Запишем отношение сторон: ОМ так относится к ОВ, как КС относится к ВС. Подставив известные нам величины, получим: r/(BK - r) = 6/10. Из прямоугольного треугольника КВС по теореме Пифагора найдем ВК, и из пропорции получим значение радиуса. Оно равно 3. 2 способ. При решении задачи можно было использовать свойство биссектрисы: она делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. И сразу можно записать пропорцию. Далее смотри первый способ. 3 способ. Можно воспользоваться формулой площади, выраженной через полупериметр и радиус вписанной окружности. Найдя площадь и полупериметр, легко определяем радиус. Он равен 3.