Интересная задача на упрощение выражения, содержащего три степенных ряда

Имеется выражение, содержащее три степенных ряда: ∑[(–4)^n⋅x^(4n)/(4n)!] + ∑[(–4)^n⋅x^(4n+1)/(4n+1)!] –2∑[(–4)^n⋅x^(4n+3)/(4n+3)!] (во всех случаях индекс суммирования n изменяется от 0 до бесконечности). Требуется упростить его, избавившись от степенных рядов; иными словами — записать выражение в замкнутой форме. Несложно заметить, что все три ряда сходятся абсолютно на всей числовой оси. В этом можно убедиться, например, с помощью признака Даламбера. А степенные ряды можно дифференцировать почленно внутри их промежутков сходимости. Обозначим суммы степенных рядов в порядке их следования S1, S2, S3. Заметим, что S1'=–4S_3, S2'=S1, S3''=S2. Обозначив исходное Выражение S, выразим S через S1, S2, S3: S=S1+S2–2S3 и продифференцируем данное равенство по дважды по x. Оказывается, можно подобрать такую линейную комбинацию трёх равенств, которое в результате даёт равенство с нулевой правой частью, представляющее собой линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами относительно S. Остаётся лишь решить данное уравнение с начальными условиями S(0)=S'(0)=0. Решение данной задачи Коши и будет окончательным ответом к исходной задаче.