Вписанные углы | Задачи 31-37 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

31. В окружность вписан четырехугольник. Оказалось, что он также описан вокруг другой окружности. Докажите, что два отрезка, соединяющих точки ее касания с противоположными сторонами четырехугольника, перпендикулярны. 32. Продолжения противоположных сторон AB и CD вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон BC и AD –– в точке K. Докажите, что биссектрисы углов AMD и CKD перпендикулярны. 33. Две окружности пересекаются в точках A и B. Произвольная прямая пересекает первую окружность в точках M и K, а вторую –– в точках E и F (точка E лежит на отрезке MK, а точка K –– на отрезке EF). Докажите, что ∠MAE =∠KBF. 34. В обозначениях предыдущей задачи для случая, когда точка K лежит на отрезке ME, а точка E –– на отрезке KF, докажите, что ∠MAE +∠KBF =180◦ 35. На стороне AC треугольника ABC взяли точку M. Пусть O1 и O2 –– центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Оказалось, что точки B, M, O1 и O2 лежат на одной окружности. Докажите, что она проходит через середину стороны AC. 36. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на его описанной окружности. *37. Через точку K пересечения двух окружностей провели две прямые, которые пересекли первую окружность в точках A и B, а вторую –– в точках C и D соответственно. Докажите, что отмеченный на рисунке угол между хордами AB и CD не зависит от выбора прямых.